2010年10月04日 09:36
來源：本站原創

高一數學組
    圓錐曲線上存在兩點關于某直線對稱求某參數范圍問題，已經有許多文章進行了論述。通常都是用函數思想、不等式的思想解決的。即引進新參量，建立函數關系式，轉化為函數值域或構造關于參量的不等式，尋求參量的范圍。通過教學實踐，筆者發現這類問題不僅可以用上述兩種思想解決，也可以用數形結合思想解決。設想尋求有關弦中點軌跡，通過軌跡曲線與圓錐曲線的位置關系，利用數形結合尋求參量范圍，下面舉幾例加以說明。
例1：已知橢圓C： ，確定m的取值范圍，使C上有不同的兩點A、B關于直線L：y=4x+m對稱。
解：設A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點M(x0,y0)
則有     (1)   (2)
(1)-(2)得     
   A、B關于L對稱
   KAB = 
  y0 = 6x0
于是以 為斜率的平行弦中點軌跡是直線y=6x在橢圓內部的一段，不包括端點。
  與 聯立得兩交點A1( ),B1( )，
問題轉化為L與線段    有交點問題。
由圖形知，當L過A1點時，m最大值為  ，當L過B1點時，m最小值為 - ，
 
例1的解法提供了一種解決此類問題的新思路，而且運算過程簡單，從圖形上可以直觀地看出結果，真正體現了數形結合思想的作用。那么此種想法是否適合其它曲線呢？回答是肯定的。
例2：曲線C：x-y2-2y=0上存在關于直線L:y=x+m對稱兩點A、B，求m的取值范圍。
解：設A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB中點M(x0,y0)，則有
 - -2 =0        ①
 - -2 =0        ②
①-②得  (x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)-2(y1-y2)=0 
由題意知    x1-x20，上式兩端同除x1-x2，得
 
  A，B關于L對稱
  KAB =  ，y0 =  ,x0 =  - m
于是以-1為斜率的平行弦中點軌跡為直線y = 在拋物線內部的一條射線，不包括端點。
將y = 代入拋物線方程得交點P( , )，
問題轉化為L與射線y = (x> )有交點。
    將P點坐標代入L方程得m = ，由圖形知，m取值范圍為
由例1、例2可以看出，若直線L斜率已知，則可以轉化為L與平行弦中點軌跡相交問題處理，關鍵是尋求與已知直線垂直的平行弦中點軌跡，然后再利用數形結合求參量范圍。那么，這種解法可信度如何呢？我們看看上兩例，例1中當L與A1B1有交點時，此交點恰是與L垂直的弦中點，就保證了該弦兩端點關于L對稱。所以只要L與平行弦中點軌跡有交點時，就能保證曲線上存在兩點關于L對稱。
例3、已知橢圓C： ，確定k的范圍，使C上存在不同的兩點A、B關于直線L： 對稱。
解：設 ， ， ，
當k=0時， 不符題意，所以 ，
將A、B坐標代入橢圓方程得
 (1)    (2)
(1)-(2)得     即
    
 ， 有
 ， 又M在L上，
 ， ，
于是以 為斜率的弦中點軌跡為 在橢圓內部的一段A1B1，如圖，
將 代入橢圓方程得 ， 
問題轉化為L與線段A1B1有交點，由圖形知
例4、已知L： 能垂直平分曲線C： 某一弦AB，求k范圍。
解：由拋物線對稱性，當k=0時，C上不存在A、B關于L對稱，所以 ，
設 ， ， ，
將A、B坐標代入拋物線方程得
   (1)      (2) 
(1)-(2)得  
 ，
 ， ， ，
又 在L上，
 ，
于是 ， ，消k得
  斜率為 的弦中點軌跡為 在拋物線內部一段且過(1,1)點，如圖，
而L過定點(1,1)。當L與 相切時得k=-2，由圖形知
例5、曲線C： 上存在關于L： 對稱的兩點A、B，求k的范圍。
解：當k=0時，L為x軸，由雙曲線對稱性知 k=0不符合題意，
當 時，設 ， ， ，
將A、B坐標代入雙曲線方程得
 (1)      (2)
(1)-(2)得 ，
 ， ，
又  ， ，
以 為斜率的弦中點軌跡方程為x=-2，
直線x=-2與雙曲線、漸近線交于點A1，B1，C1，D1，
由雙曲線對稱性可以看出，以 為斜率的弦中點軌跡應是線段B1C1和以A1，D1為端點的兩條射線（在x=-2上），
L過定點C(-4 ，0)
 
由圖形知， 時，L與弦中點軌跡有交點，即C上存在兩點A、B關于L對稱。
所以 
通過以上幾例可以看出，運用數形結合思想解決這類問題，可以使運算過程簡化，并具有很強的直觀性，處理此類問題思路簡單。最后筆者想說的是，數學思想無處不在，只要我們注重挖掘，并能將其運用于解題實踐，這樣將會給我們帶來無窮的樂趣。

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