教學中重視轉化思想的滲透

           曲陽一中  龐英璞    2010-1-30

轉化與化歸思想是高中數學學習中的重要思想方法之一，利用轉化與化歸思想，可以將復雜問題轉化為簡單問題，抽象問題轉化為具體問題，生疏問題轉化為熟悉問題，代數問題轉化為幾何問題，高次的轉化為低次的等等，從而使問題變得容易解決，同時，也會培養學生的思維靈活性，開闊學生的思路，提高解決問題的能力。下面結合自己的教學實踐進行一些闡釋。

一、數形轉化  由抽象變形象

解析幾何是用解析法研究幾何問題的學科，學科本身就充分體現了數與形的完美結合，數變形，形變數，在變化中求得問題的有效解決。在教學中會遇到一些看似數或式的問題，若一味按代數方法解決會很麻煩，若轉化為形的問題則變得較易解決。

案例1.方程 |x+1|=x+a 只有一個實數解，求實數a的取值范圍。

學生思考此問題時，容易想到將方程的兩邊平方化為一元二次方程，再利用判別式解決，但平方后的方程與原方程并非等價，若考慮等價性還需要附加條件，這就不易求的結果。|

若設 。     

 問學生：兩個函數的圖像交點與原方程的解有何關系？學生思考后會明白，兩圖像交點個數與原方程解的個數一致。從而問題就轉化為： 函數

 與 的圖像有且只有一個交點，求的取值范圍。

在同一坐標系中作出兩個函數的圖像，經過分析圖像很容易求得的取值范圍是   +）。

案例2，求  的最大值與最小值。

看到此題，學生仍然習慣于對代數式進行變形，利用代數方法求其最大值和最小值，這樣就會陷入繁瑣的式子的化簡，并且很難求出結果。分析此題時，我對學生進行了引導，將其與由兩點求直線斜率公式對比，會發現什么？經過思考和討論后，有的學生就看到，此代數式可看作動點與定點連線的斜率，因此，原問題轉化為：求動直線斜率的最大值和最小值。

設  ， ，可知動點在單位圓上移動，結合圖像分析易知，直線為圓的兩條切線時其斜率分別為最小值和最大值，并易求得最大值為 ，最小值為 。

二．代換或換元   由復雜變簡單

有些問題面對原始的式子或在求解過程中出現的式子，如果按著原來的變量整理求解是比較復雜或困難的，如果進行適當的代換或換元，再加以解決就會變得容易多了。

案例3. 解不等式  < 。

解此不等式時，若按含絕對值不等式求解，則轉化為兩個二次不等式；若平方后去掉絕對值符號，則升為4次高次不等式。運算量都比較大。下面采取換元法求解。

設 ，則原不等式轉化為 <  ,易得0<t<1 ,再由0<|x-1|<1

得 -1< x-1 <1 ,且x-10 。即得原不等式的解集 且 ，通過換元再解不等式，大大減小了運算量，做到了即快速又準確求出了不等式的解。

案例4. 已知定點 為橢圓  的右焦點，點在橢圓上移動，求  的最小值。

此題應用兩點間的距離公式直接把表示成動點M坐標的關系式，再用代數方式求解就困難了，若直接考慮幾何意義，也很難確定點M的位置。聯系橢圓的第二定義，將|,MF|代換為點M到右準線的距離 |MD ，|即 =|MA|+2e|MD|。結合圖像可知，當M、 A 、D三點共線時，其值最小，且最小值為A點到右準線的距離10。

三．思維方式的轉化  由茫然變豁然

正向思維，有題設條件經演繹推理得出結論，是學生最常見的思維方式。但是，形成了這種思維定勢，有時會阻塞思維活動，陷入困境。教學中，根據一些題型引導學生運用逆向思維方式，用特例檢驗的思維方式，運動變化的思維方式等。可起到事半功倍的作用，使學生體會變換思維方式帶來的方便。

案例5 .過拋物線y=ax(a>0)的焦點F做一直線交拋物線于P、Q兩點。若|PF|=ｐ,|QF|=q ,則+=(　　)

Ａ、２ａ　　Ｂ、４ａＣ、　　Ｄ、

此題若用常規的思維方式會設直線方程，與拋物線方程聯立，再根據韋達定理求解。過程會很復雜。注意到四個選擇支的確定性，應想到結論與直線ＰＱ的位置沒有關系，因而可選擇ＰＱ為拋物線的通徑的特殊位置來求解。此時+=，可設Ｐ（ｐ，），代入拋物線方程可得

，＝ａｐ，根據拋物線定義得　ｐ＝ａｐ＋，即

（２ａｐ－１）＝０　得 P＝ 故＝４ａ，所以選Ｂ。

轉化還包括語言形式的轉化，動態與靜態的轉化等不同形式，在教學過程中應有意識引導學生，經常給學生滲透這種思想，使他們逐漸建立這種思想意識，對提高解題能力，培養綜合應用的能力，是很有必要的。